Tema 5: Buscar un patrón 13/08/22

 

Desarrollar y Usar la Estrategia: Buscar un Patrón

Buscar un Patrón es una estrategia que puedes utilizar para buscar patrones en los datos con la finalidad de resolver problemas. La finalidad de dicha estrategia es buscar datos o números que se repiten, o bien buscar eventos que se repiten. El siguiente problema puede resolverse a través de la técnica de encontrar un patrón.

Ejemplo:

Tu dispones pelotas de tenis en arreglos triangulares, como se muestra. ¿Cuántas pelotas habrán en un triángulo que tiene 8 filas de pelotas?

Solución

Paso 1

Entender

Sabemos que disponemos las pelotas de tenis en arreglos triangulares como se muestra.

Queremos saber cuántas pelotas hay en un triángulo que tiene 8 filas de pelotas.

Paso 2

Estrategia

Una buena estrategia es hacer una tabla que contenga una lista de cuántas pelotas existen en triángulos que poseen diferentes números de filas.

Una fila. Es simple observar que un triángulo con una fila tiene solamente una pelota.

Dos filas. Para un triangulo con 2 filas, sumamos las pelotas de la fila superior con las de la fila inferior. Es útil hacer un bosquejo de las diferentes filas del triángulo.

Tres filas Sumamos las pelotas del triángulo superior con las pelotas de la fila inferior.

$\begin{array}{r}=3+3=6\end{array}$

Podemos entonces completar las primeras tres filas de la tabla.

Número de filas	Número de pelotas
1	1
2	3
3	6

¡Podemos observar que existe un patrón! Es decir:

Para crear el siguiente triángulo, añadimos una nueva fila inferior al triángulo existente.

La nueva fila inferior tiene un número de pelotas igual al número de filas existentes en el nuevo triángulo (dicho número, por supuesto, se debe tomar en cuenta la nueva fila inferior).

- Un triángulo con 3 filas tiene 3 pelotas en la fila inferior.

Para obtener el número total de pelotas para el nuevo trángulo, sumamos el número de pelotas del triángulo original al número de pelotas de la nueva fila inferior.

dado que, como se mencionó arriba, el número de pelotas de la nueva fila inferior es igual al número total de filas del nuevo triángulo, también se puede decir que

Para obtener el número total de pelotas para el nuevo trángulo, sumamos el número de pelotas del triángulo original al número de filas del nuevo triángulo.

Paso 3

Aplicar la estrategia/resolver:

Podemos completar la tabla siguiendo el patrón que hemos descubierto.

Número de pelotas = número de pelotas en el triángulo original + número de filas del nuevo triángulo

Número de filas	Número de Pelotas
1	1
2	3
3	6
4	$\begin{array}{r}6+4=10\end{array}$
5	$\begin{array}{r}10+5=15\end{array}$
6	$\begin{array}{r}15+6=21\end{array}$
7	$\begin{array}{r}21+7=28\end{array}$
8	$\begin{array}{r}28+8=36\end{array}$

Respuesta Hay 36 pelotas en un arreglo triangular de 8 filas.

Paso 4

Comprobar

Cada fila de un triángulo tiene una pelota más que la fila previa. Así, en un triángulo de 8 filas,

la fila 1 tiene 1 pelota; la fila 2 tiene 2 pelotas; la fila 3 tiene 3 pelotas; la la fila 4 tiene 4 pelotas; la fila 5 has 5 balls; la fila 6 tiene 6 pelotas; la fila 7 tiene 7 pelotas; la fila 8 tiene 8 pelotas.

Cuando sumamos todas estas cantidades, tenemos: $\begin{array}{r}1+2+3+4+5+6+7+8=36pelotas\end{array}$

La respuesta se ha comprobado.

Nota que en este ejemplo hicimos tablas y dibujamos diagramas para ayudarnos a organizar la información y encontrar un patrón. El uso simultáneo de varios métodos es una práctica común y es muy útil para resolver problemas.

MÉTODO DE GAUSS 

El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas (comentados en el epígrafe 2), para transformar la matriz ampliada con los términos independientes ( A* ) en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, la penúltima dos incógnitas, la antepenúltima tres incógnitas, ...,  y la primera todas las incógnitas. El siguiente esquema muestra cómo podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales aplicando este método.